2140.解决智力问题

1、题干

给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 questions ，其中 questions[i] = [pointsi, brainpoweri] 。

这个数组表示一场考试里的一系列题目，你需要 按顺序 （也就是从问题 0 开始依次解决），针对每个问题选择 解决 或者 跳过 操作。解决问题 i 将让你 获得  pointsi 的分数，但是你将 无法 解决接下来的 brainpoweri 个问题（即只能跳过接下来的 brainpoweri 个问题）。如果你跳过问题 i ，你可以对下一个问题决定使用哪种操作。

• 比方说，给你 questions = [[3, 2], [4, 3], [4, 4], [2, 5]] ：
  • 如果问题 0 被解决了， 那么你可以获得 3 分，但你不能解决问题 1 和 2 。
  • 如果你跳过问题 0 ，且解决问题 1 ，你将获得 4 分但是不能解决问题 2 和 3 。

请你返回这场考试里你能获得的 最高 分数。

 

示例 1：

输入：questions = [[3,2],[4,3],[4,4],[2,5]]
输出：5
解释：解决问题 0 和 3 得到最高分。
- 解决问题 0 ：获得 3 分，但接下来 2 个问题都不能解决。
- 不能解决问题 1 和 2
- 解决问题 3 ：获得 2 分
总得分为：3 + 2 = 5 。没有别的办法获得 5 分或者多于 5 分。

示例 2：

输入：questions = [[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5]]
输出：7
解释：解决问题 1 和 4 得到最高分。
- 跳过问题 0
- 解决问题 1 ：获得 2 分，但接下来 2 个问题都不能解决。
- 不能解决问题 2 和 3
- 解决问题 4 ：获得 5 分
总得分为：2 + 5 = 7 。没有别的办法获得 7 分或者多于 7 分。

 

提示：

• 1 <= questions.length <= 105
• questions[i].length == 2
• 1 <= pointsi, brainpoweri <= 105

动态规划没学明白，周赛坑了一小时没写出来，可能我智力有问题吧

2、解法1-记忆化搜索

• 每个问题都有解决和跳过两种选择
• 对于任意问题 $i$ 如果解决则得分叠加下一道可解的题即 dfs(i + 1 + questions[i][1]) + questions[i][0])
• 如果跳过则得分与下一道题相同即 dfs(i + 1)
• 题目要求最高分数因此取二者的最大值，如此深度遍历下去直至结束
• 由于每个问题都有2种状态，因此时间复杂度接近 $O(2^n)$，为了避免超时使用哈希表记录已搜索过的题目后续直接返回

一般动态规划的题都能用暴力穷举(DFS、BFS、回溯等)解决，如果实在想不到动态规划的解题思路，可以尝试暴力穷举+记忆化。

3、复杂度

• 时间复杂度：不使用记忆化时为 $O(2^n)$，使用记忆化后无法确定
• 空间复杂度：$O(n)$

4、代码

var mostPoints = function (questions) {
    const n = questions.length, visited = new Map();
    function dfs(idx) {
        if (idx > n - 1) return 0;
        if (visited.has(idx)) return visited.get(idx);
        const [score, skip] = questions[idx];
        return visited.set(idx, Math.max(dfs(idx + 1), dfs(idx + 1 + skip) + score)).get(idx);
    }
    return dfs(0);
};

5、执行结果

执行用时: 360 ms 内存消耗: 91.8 MB

6、解法2-顺序DP

• 对于任意问题 $i$ 而言 $dp[i]$ 表示完成 $[0,i]$ 题能获得的最高分，另外每个问题都有解决和跳过两种选择
• 如果解决问题 $i$ 则其得分 $dp[i] + questions[i][0]$ 可以转移给下一道可解的题 $j$ 使用（其中 $j = questions[i][1] + i + 1$），转移时 $dp[j]$ 取二者最大值即 $dp[j] = Math.max(dp[i] + questions[i][0], dp[j])$
• 如果跳过问题 $i$ 则其得分 $dp[i]$ 可以转移给下一道题 $i + 1$ 使用，转移时 $dp[i + 1]$ 取二者最大值即 $dp[i + 1] = Math.max(dp[i], dp[i + 1]);$

注意：\ 一般动态规划按以上思路遍历下去最终返回 $dp$ 数组末尾元素即可，但这里会出现一种特殊情况：最高分在 $dp$ 数组中的索引可能大于 $questions.length$。 例如用例：[[25,1],[44,3],[91,1],[12,3],[93,3]] 的长度为5，而最高分出现在 $dp[8]$ 。

因此使用变量 max 在动态规划过程中记录所有得分中的最高分并返回，最后AC了。

所以最后注意动态规划过程中处理好最高得分数组越界的问题就能AC。

7、复杂度

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

8、代码

var mostPoints = function (questions) {
    const n = questions.length, dp = new Array(n).fill(0);
    let max = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        dp[i + 1] = Math.max(dp[i], dp[i + 1] || 0);
        const j = questions[i][1] + i + 1;
        dp[j] = Math.max(dp[i] + questions[i][0], dp[j] || 0);
        max = Math.max(dp[i + 1], dp[j], max);
    }
    return max;
};

9、执行结果

执行用时: 280 ms 内存消耗: 69.8 MB

10、解法3-逆序DP

看了些资料才发现，逆序DP也是一种解题方法，并不是特例

• 逆序DP中状态转移是相反的，即将靠后问题的得分转移给前面的问题，对于任意问题 $i$ 而言 $dp[i]$ 表示完成 $[i,n-1]$ 题能获得的最高分
• 如果选择跳过问题 $i$，则将下一题得分 $dp[i + 1]$ 转移给 $dp[i]$
• 如果选择解决问题 $i$，则将下一可解题得分 $dp[questions[i][1] + i + 1]$ 转移给 $dp[i]$，并叠加当前题得分 $questions[i][0]$
• 依次处理所有问题，最后返回 $dp[0]$

11、复杂度

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

12、代码

var mostPoints = function (questions) {
    const n = questions.length, dp = new Array(n).fill(0);
    for (let i = n - 1; i > -1; i--) {
        dp[i] = Math.max(dp[i + 1] || 0, questions[i][0] + (dp[questions[i][1] + i + 1] || 0));
    }
    return dp[0];
};

13、执行结果

执行用时: 176 ms 内存消耗: 65 MB